27.10.10

Ars magna magna



Aggiornamento 24/11/11: un modo più veloce per calcolare il numero di tutti gli accordi possibili è quello di considerare 12 elementi, le 12 altezze, con 2 stati (on/off), cioè 2^12 = 4096. A questa cifra vanno sottratti i 12 casi con una nota sola (cardinalità 1) e il singolo caso con tutti e 12 gli elementi in stato off (cardinalità 0): 4096-12-1=4083. [Thanks to Craig Sapp for this one!]
In questo post ho usato il metodo descritto di seguito per generare tutti gli accordi con uno script di python e music21.

La domanda del mio amico sembrava innocente: "Quanti sono gli accordi musicali?". Facile, 12 maggiori, 12 minori, i diminuiti, i semidiminuiti... aspè... accordi di 9 e 13... azz! il bicordo dei metallari! Alla fine me la cavo con un po' di concetti da specialista e un classico "Dipende". Non è vero. C'è un numero preciso.
Considerando che:
1. Le note purtroppo sono solo 12.
2. Un accordo è per definizione formato da un minimo di 2 note.
3. Grazie all'emancipazione della dissonanza non ci sono limitazioni teoriche né pratiche alla formazione di accordi a partire dalle 12 povere note.
4. Raimondo Lullo era un pazzo ma ce la metteva tutta, senza calcolatrice.
Abbiamo tutte le premesse per applicare l'arte combinatoria e trovare il risultato preciso.
Le mitiche formule dell'arte:
n! = tutte le permutazioni di n elementi in qualsiasi ordine
n^t = permutazioni di n elementi presi t a t con ripetizioni
n!/(n-t)! = disposizione di n elementi t a t in modo che abbia valore differenziale anche l'ordine
n!/t!(n-t)! = combinazione di n elementi presi t a t senza ripetizioni (t può coincidere con n)
0! = 1 (non banale)
Cerchiamo le combinazioni di 12 elementi senza ripetizioni, quindi:
bicordi possibili: 12!/2!*10! = 479001600/7257600 = 66
tricordi possibili: 12!/3!*9! = 479001600/2177280 = 220
tetracordi possibili: 12!/4!*8! = 479001600/967680 = 495
pentacordi possibili: 12!/5!*7! = 479001600/604800 = 792
esacordi possibili = 12!/6!*6! = 479001600/518400 = 924
eptacordi possibili = pentacordi possibili
ottacordi possibili = tetracordi possibili
nonacordi(!?) possibili = tricordi possibili
decacordi possibili: bicordi possibili
undecacordi possibili: 12!/11!*1! = 479001600/39916800 = 12
dodecacordi possibili: 12!/12!*0! = 1
Quanti sono gli accordi musicali? 4083.

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